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Fernabi - Abiklausur Mathematik LK

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Lernfrosch

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Um 9.00 Uhr begann die Klausur mit der 30minütigen Einlesezeit.

In dieser Zeit mussten die Aufgabenzettel und Hinweise zuerst auf Vollständigkeit überprüft werden.

Als Hifsmittel waren ein Wörterbuch, ein weder grafik- noch programmierbarer Taschenrechner, Formelsammlung und Zeichenhilfsmittel zugelassen.

Es bestand hinsichtlich der Aufgaben keine Auswahlmöglichkeit, d.h., die vorgelegten Themen mussten beide bearbeitet werden (ob es einem lag oder nicht).

Insgesamt gab es zwei Aufgaben, je eine aus dem Bereich Analysis und Analytische Geometrie; insgesamt gab es 22(!) Unteraufgaben.

Ich versuche mal, die Aufgabenstellungen wiederzugeben. Keine Garantie für Vollständigkeit/ Richtigkeit; es war doch ein bisschen viel zum mal Nebenbei-in-der Abiklausur-Auswendiglernen.

Analysis

Thema: "Regenstärke"

Die Aufgabe bestand aus 7 Unteraufgaben, die ich kommentiert zusammenfasse:

Es gab einen kurzen Einführungstext, etwa 4-5 Sätze. Dieser enthielt (etwas versteckt) eine wesentliche Information, die man für die letzte Teilaufgabe brauchte.

Es ging um einen 120m^2 großen Parkplatz und einen Regenguss. Man sollte sich vorstellen, dass es regnet und der Parkplatz so gebaut ist, dass das Regenwasser mit Pumpen abgepumpt werden muss. Eine Pumpe könne 2 Liter Wasser pro Minute beseitigen. Die Regenstärke wird in Millimetern pro Minute gemessen und durch Messwerte und eine Funktion mit Näherungswerten dargestellt:

Es gab eine Tabelle mit verschiedenen Messwerten und eine Funktion r.

r(t)=(8/5)*t*e^((-1/5)*t)

a) (i) Zuerst sollte man die Tabellenwerte in ein Koordinatensystem eintragen. In dieses sollte auch die Funktion im Intervall von t=0 bis t=15 eingezeichnet werden.

(ii) Dann sollte beurteilen, ob die Funktion die Messwerte angemessen wiedergibt (Abweichung max. +- 0,3).

Habe ich beides gemacht. Die Werte habe ich verglichen. Es gab eine kleine Abweichung von der Abweichung um etwa 0,1. Ich habe gesagt, da es sich bei allen Werten um Näherungswerte handelt und daher eine Abweichung bei 9 zu vergleichenden Werten nicht so gravierend sei und die Funktion daher annähernd genau ist.

B) Man sollte den Zeitpunkt der maximalen Regenstärke bestimmen und angeben, wie hoch diese zu dem Zeitpunkt ist.

Ich habe die erste Ableitung gebildet und 0 gesetzt um Extrempunkte zu bestimmen. Mit der zweiten Ableitung habe ich den Wert hinsichtlich Maximum/Minimum untersucht. Den Wert (t=5) habe in die Ausgangsfunktion eingesetzt und so die maximale Regenstärke bestimmt.

c) Es war eine Funktion R(t)=40-8/5+(25+5t)*e^((-1/5)*t) gegeben.

(i) Man sollte nachweisen, dass diese eine Stammfunktion zur Funktion r ist.

(ii) Anschließend sollte die durchschnittliche Regenmenge in den ersten 15 Minuten bestimmt werden.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich R richtig wiedergegeben habe. Könnte vielleicht auch geringfügig anders gewesen sein.

Ich habe den Weg über R´(t)=r(t) gewählt; also erste Ableitung von R gebildet und gezeigt, dass das Ergebnis r entspricht.

Im zweiten Teil habe ich ein Integral gebildet: (1/15)*Integral r(t) dt. Obere Integralgrenze 15, untere 0. Mit R ließ sich das dann zügig "von Hand" berechnen.

d) Jetzt sollte sich vorstellen, dass nach 15 Minuten der Regen aufhört. Die Funktion r geht in eine lineare Funktion über und eine Minute später hört der Regen ganz auf.

(i) Diese lineare Funktion sollte man im Koordinatensystem ergänzen.

(ii) Es war gesagt, in dieser letzten Minuten würde noch etwa 0,6 mm Regen fallen. Man sollte mit geometrischen Mitteln zeigen, dass dies so ist.

Ich habe die Linie eingezeichnet.

Für den zweiten Teil habe ich ein Dreieck gezeichnet: (15;0),(16;0), (15; r(15). Das war rechtwinklig; Der Flächeninhalt ließ sich schnell berechnen und gab die Regenmenge an.

e) Jetzt sollte noch die Regenmenge bestimmt werden, die insgesamt in den 16 Minuten gefallen ist.

Ich habe die Gesamregenmenge aufgeteilt in zwei Teile, die ersten 15 Minuten und die letzte Minute. Zweiteren Wert hatte ich schon aus der Aufgabe zuvor. Für das andere habe ich die Fläche zwischen r und der x-Achse im Intervall von 0 bis 15 über ein Integral berechnet: Integral r(t) dt. Obere Grenze 15, untere 0. Beide Ergebnisse addiert gaben dann die Gesamtmenge an.

f) Dann war eine weitere Funktion gegeben, diese sollte die Abpumpleistung darstellen:

f(t)=240*Integral r(t) dt

obere Integralgrenze war t; untere t-(1/2)

Das Maximum der Funktion war angegeben, es soll etwa bei t=5,254 liegen. Die Abpumpleistung war in Millimetern pro Sekunde angegeben.

(i) Man sollte die Bedeutung dieser Funktion im Sachkontext erklären.

(ii) Man sollte ebenfalls im Sachzusammenhang erklären, warum f(0)=0 ist.

(iii) Man sollte auch noch erklären, warum das Maximum dieser Funktion f nicht mit dem Maximum von r übereinstimmen kann.

Ich habe geschrieben, die Funktion beschreibe die Leistung, die erbracht werde um das Regenwasser abzupumpen. Ich habe dann die einzelnen Bestandteile der Funktion erläutert, z.B. dass die 240 dadurch zustande kommt, dass ein Pumpe 2 Liter Wasser "schafft" und die beregnete Parkplatzfläche 120m^2 groß sei; daher 2*120=240. t würde den aktuellen Zeitpunkt angeben. Und t-(1/2) berücksichtige, dass es gleichzeitig regnet und Wasser abgepumpt wird.

f(0)=0 habe ich damit erklärt, dass der Regen erst zum Beginn bei t=0 einsetzt und sich zu diesem Zeitpunkt noch kein Wasser auf dem Parkplatz gesammelt hat, das man beseitigen könnte.

Die Verschiebung habe ich damit erklärt, dass das Wasserabpumpen erst einsetzen kann, wenn bereits Regen auf dem Parkplatz angekommen ist, also erst im Laufe der ersten Minute. Diese Verzögerung zieht sich dann weiter und das Maximum von f liegt dann auch geringfügig nach dem von r.

g) In der letzten Aufgabe sollte man berechnen, wieviele Pumpen man mindestens benötigt.

Hier brauchte man die Information aus dem Einleitungstext. Man musste eigentlicn nur beachten, dass es sich um unterschiedliche Einheiten handelte; einmal waren mm pro Minute und ab Aufgabe f) mm pro Sekunden angegeben. Man musst also erst die Einheiten umrechnen. Ich habe den vorgegebenen Maximalwert in f eingesetzt. Das Ergebnis (etwa 353) habe ich durch 120 geteilt. 120, weil eine Pumpe 2 Liter pro Minute schafft und die Funktion jetzt aber in Sekunden rechnet (2*60=120). Mein Ergebnis war, dass man mindestens 3 Pumpen benötigt.

Analytische Geometrie

Es ging um eine architektonische Konstruktion. Dazu gab es einen sehr kurzen einleitenden Text, etwa 2-3 Sätze. Dieser enthielt keine wirkliche relevanten Informationen.

Das Thema war kurz gefasst "Tetraeder".

Die Aufgabe bestand aus 15 Unteraufgaben, die ich hier kommentiert zusammenfasse:

Die Eckpunkte des "Tetraeders" waren gegeben (A,B,C,D). Es war auch gesagt, welche drei bestimmten Punkte die Grundfläche bilden sollten (A,B,C).

A (...;...;...), B(8;-4;4), C(...;...;...), D (5,5;10;10)

^Die Koordinaten von A und C sind mir gerade entfallen; tut mir leid.

a) Man sollte den "Tetraeder" in ein räumliches Koordinatensystem einzeichnen.

War gut machbar. Es gab keine Vorgaben zum Maßstab. Ich fand es etwas knifflig, das auf eine Seite zu bekommen und den Rand nicht zu beschreiben. Ein langes Lineal dabeizuhaben, hat sich als hilfreich erwiesen.

B) Dann sollte man zeigen, dass es sich wirklich um einen "Tetraeder" handelt. Dazu gab es den Hinweis, das ein Tetrader auch unregelmäßig sein dürfe.

Ich bin davon ausgegangen, wenn durch drei Punkte eine Ebene bestimmt werden kann, dürfe der vierte Punkt in dem Fall nicht in dieser Ebene liegen. Das habe ich anhand der Ebenengleichung und Einsetzen des vierten Punktes gezeigt. Es hat sich dann noch ergeben, dass der "Tetraeder" alles andere als regelmäßig war; es handelte sich um eine unregelmäßige dreiseitige Pyramide.

c) Man sollte den Punkt H bestimmen, der den Mittelpunkt der Strecke AB bilden sollte.

Die Aufgabe fand ich gut; das war die einfachste von allen. Ging zügig und schnell.

d) Dann sollte auch noch zeigen, dass der Schwerpunkt der Grundfläche auf der Geraden HC liegt. Dazu gab es den Hinweis, wie man den Schwerpunkt berechnen kann (Ortsvektor vom Schwerpunkt eines Vielecks bestimmt sich über das arithmetische Mittel der Ortspunkte der Vieleckspunkte).

Mit dem Hinweis ließ sich der Schwerpunkt in weniger als zwei Minuten bestimmen. Dann habe ich die Geradengleichung aufgestellt und durch Einsetzen überprüft, ob der Schwerpunkt darauf lag; erwartungsgemäß tat er es.

e) Man sollte die Ebenengleichung der Ebenen E (Grundfläche) in Parameterform angeben.

Habe ich auch gemacht; ging auch komplikationslos.

f) Man sollte zeigen, dass eine vorgegebene Gerade in der Ebene E verläuft.

Ich habe gesagt, dass die Gerade in Ebene liegt, wenn zwei beliebige Punkte, die auf der Geraden liegen, in der Ebene liegen. Zwei beliebige Punkte bestimmt, deren Koordinaten in die Ebenengleichung eingesetzt, Vermutung bestätigt > Gerade liegt in der Ebene.

g) Es sollte die Ebenenglecihung in Parameterform aufgestellt werden, die parallel zur Ebene E durch den Punkt D verläuft.

Hier musste ich zuerst überlegen und bin mir unsicher, ob meine Lösungsidee richtig ist.

Ich habe den minimalen Abstand zwischen der Ebene und D bestimmt und dieses Ergebnis (irgendwas mit Wurzel aus 41) mit der Ebenengleichung von zuvor kombiniert. Ich habe an die Gleichung hintendran "+(Abstand E zu D)" geschrieben.

h) Es war eine Lotgerade gegeben (Ebene E und D). Man sollte zeigen, wie man mit den Daten aus der Aufgabe diese Gleichung aufstellen kann.

Ich habe die Parametergleichung der Ebene in die Koordinatenform gebracht und den Einheitsvektor bestimmt. Daraus ließ sich dann auch schon die Lotgerade aufstellen; l:x=D+t*(Normalenvektor)

i) Dann sollte der Lotpunkt bestimmt werden.

Aus der Lotgeraden ließen sich die Gleichungen für x1, x2 und x3 ablesen. Diese habe ich in die Ebenengleichung eingesetzt. Das Ergebns war ein Wert für t. Diesen in die Lotgeradengleichung eingesetzt lieferte die Koordinaten des Lotpunktes.

j) Dann musste der Abstand zwischen Lotpunkt und D ermittelt werden.

Den Abstand von Lotpunkt zu D habe ich über den Betrag eines Vektors ermittelt (die Sache mit der Wurzel, wo man vorher D-Lotpunkt bestimmt und dann die aus den addierten quadrierten Koordinaten die Wurzel zieht).

k) Es sollten auch die Winkel im Dreieck ABC berechnet werden.

Ich weiß noch, dass ich mich gefreut habe, dass meine Winkel am Ende zusammen 180° ergeben haben. Ein Winkel war etwa 85,5°, ein anderer 36,0° und der letzte 58,5° groß.

l) Man sollte auch noch den Flächeninhalt des Dreiecks ABC bestimmen.

Fand ich ganz gut machbar, da man zuvor die Winkel berechnet hatte und aus den Voraufgaben schon als Zwischenschritte die Seitenlängen berechnet hatte. Ich habe das dann nur noch in die Formel aus der Formelsammlung eingesetzt und hatte meinen Flächeninhalt.

m) Dann sollte das Volumen des "Tetraeders" ermittelt werden.

Ich habe die Formel für die Pyramide benutzt (1/3*Grundfläche*Höhe). Ich hoffe, dass ich die richtige Höhe verwendet habe. Ich hatte geschwankt zwischen h=Entfernung von D zu Lotpunkt und h= Entfernung von D zu Schwerpunkt. Ich weiß nicht mehr, was ich genommen habe; auf jeden Fall war mein Ergebnis etwa 200m^3.

n) Nun sollte man von einem bestimmten Volumen ausgehen (246m^3), welches größer sein soll als das bisherige. Man sollte einen möglichen Punkt D´ angeben, der diese Bedingung erfüllt.

Ich habe über die Volumenformel den Betrag von h bestimmt. Aus h habe ich dann den Abstand zwischen D und dem anderen Punkt (Lot- oder Schwerpunkt) verändert; ich habe zwei Koordinaten von D beibehalten und die dritte als Unbekannte aufgefasst. Diese Unbekannte habe ich dann wie zuvor (nur diesmal andersherum) berechnen können. Da hatte ich dann eine Möglichkeit für D´.

o) Dann sollte man allgeimein die Menge aller Möglichkeiten für D´ angeben, die obige Bedingung für das neue Volumen erfüllen.

Hier musste ich etwas überlegen. Letztlich habe ich gesagt, dass alle D´die Bedingung erfüllen müssen, dass der Betrag von h den selben Wert annimmt wie in der Aufgabe zuvor ermittelt. Einschränkend habe ich angeführt, dass D´weder in der Ebene E liegen kann noch unterhalb dieser (wegen der Bauweise).

Zusammenfassung:

Ich fand die Klausur gut machbar. Es waren zwar sehr viele Unteraufgaben, so viele wie ich noch in keiner Übungsaufgabe gesehen habe, aber diese waren dann auch weniger komplex. Vom Schwierigkeitgrad her fand ich die Klausur eher einfach; ich habe nachgeschaut (und gefragt) ob es die LK-Klausur ist.

Die Aufgaben fand ich etwas (aber nur etwas) weniger "verspielt" und mehr auf Mathematik bezogen, als die Mehrheit der Übungsaufgaben, die ich benutzt hatte. Dies trifft insbesondere auf die Analytische Geometrie Aufgabe zu; die hat mich ein wenig an die Aufgaben aus Bayern erinnert, mit denen ich auch geübt hatte. Ich würde aber sagen, dass es sich in jedem Fall gelohnt hat, vorher sehr viele Aufgaben durchzurechnen. Vieles wiederholt sich ...

Sogar die bisherige "Pannenserie" riss wieder ab; heute gab es bei mir keine Zwischenfälle.

Diese Klausur war die einzige, bei der ich sogar am Ende noch etwas Zeit übrig hatte und in aller Ruhe nochmal alles lesen konnte. Nur mit der Nummerierung der Seitenzahlen hatte ich es am Ende dann nicht mehr so; bis 29 zu zählen ist ja auch schwierig, da fällt es mir leichter, Integrale zu berechnen ;)

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2 Kommentare


Empfohlene Kommentare

Hey, Glückwunsch, dann bist du ja jetzt mit den Schriftlichen durch!!

Mathe klingt so ähnlich wie bei mir, das war auch meine einzigste Klausur, wo ich am Ende noch etwas Zeit hatte, und ich fand die Aufgaben auch weniger(!) Anwendungsbezogen als die Übungsaufgaben, die man online findet.

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^^Danke.

Es war heute richtig ungewohnt, keine Klausur schreiben zu müssen und festzustellen, dass ich diese vier Fächer wahrscheinlich nicht mehr zu lernen brauche.

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