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Wie man eine inverse Matrix findet, und warum.

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distantphysics

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Die Einsendeaufgaben von 1141 werden irgendwie immer undurchsichtiger und auch beim Script selbst habe ich das Gefühl, dass man da nach dem Motto 'Friss oder Stirb' vorgegangen ist. Bei Kursen wie 1613 (imperative Programmierung) oder 1618 (objektorientierte Programmierung) hab ich das Gefühl das der Autor wollte das man am Ende 'dazugehört', während in 1141 das Ziel zu sein scheint dass man am Ende nicht 'dazugehört'.

Aber genug des Klagens, ich glaube verstanden zu haben wie man eine Inverse Matrix findet und vor allem, warum das funktioniert.

Zunächst einmal muss man wissen welche Matrix überhaupt eine Inverse haben kann. Nur quadratische Matrizen können Inverse haben. Hat eine Matrix nicht genauso viele Zeilen wie Spalten, kann man gleich aufhören.

Nun nimmt man diese Matrix, und schreibt die Einheitsmatrix daneben. Das was man dann hat nennt man Blockmatrix.

Nun wandelt man die Matrix in die Treppennormalform (TNF) mit Hilfe des Gaußalogrhythmus und wendet die Umformungen auch auf die Einheitsmatrix an.

Sofern die Matrix invertierbar ist, erhält man als Treppenormalform die Einheitsmatrix. Man hat also am Ende in Blockform die Einheitsmatrix und eine neue Matrix die aus der ursprünglichen Einheitsmatrix hervorgegangen ist.

Diese neue Matrix ist, wenn man so will die Kurzfassung der ganzen Umformungen die man mit dem Gauß gemacht hat. Hätte man diese Matrix vorher gehabt, hätte man die Usprungsmatrix einfach damit multipliziert und man hätte die TNF gehabt.

Bei dieser neuen Matrix handelt sich es auch gleich um die Inverse der Ursprungsmatrix, aber warum? Immerhin ist der Gaußalgorhythmus darauf ausgelegt die TNF zu finden, nicht die Inverse.

Dieses kleine 'Geschenk' ist eigentlich nur Zufall. Die TNF einer quadratischen Matrix die invertierbar ist, ist die Einheitsmatrix. Somit ist das, was der Gauß ausspuckt das was man braucht um die Matrix in die TNF/Einheitsmatrix zu verwandeln. Eine Matrix die eine andere Matrix in die Einheitsmatrix umwandelt ist aber definiert als die inverse Matrix.

Man erhält die inverse Matrix also nur deshalb, weil die TNF einer invertierbaren Matrix die Einheitsmatrix ist, nicht weil das Gaußverfahren das irgendwie hingedremelt hätte.

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