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Modul: Angewandte Mathematik


kurtchen

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Das Modul "Angewandte Mathematik" ist das dritte von insgesamt vier Mathematik-Modulen im Studiengang "Web- und Medieninformatik". Studierende der Wirtschaftsinformatik müssen es nicht machen, dürfen es aber als Vertiefungsfach belegen. Auch wenn es formal - wie bei der W3L üblich -  keine Teilnahmevoraussetzungen gibt, gelten Mathe2 (Analysis und lineare Algebra), GdI1 (strukturierte und prozedurale Programmierung) und GdI2 (objektorientierte Programmierung) als inhaltliche Voraussetzungen. Meiner Meinung nach braucht man auf jeden Fall die Kenntnisse in linearer Algebra und Analysis, die Mathe2 vermittelt. Die Programmierkurse wären aus meiner Sicht weniger wichtig.

 

Kursautor von Mathe3 ist wieder Professor Lenze, der schon die Lehrbücher zu Mathe2 geschrieben hat. Die beiden Kurse bauen schön aufeinander auf. Man kann die Bände aus Mathe2 gut zum Nachschlagen nutzen, wenn man bei der Lektüre von Mathe3 merkt, das einem etwas entfallen ist. Auch in diesem Kurs gibt es die hervorragenden PDF-Tools, mit denen man sich zu allen Kapiteln des Buches selbst beliebig viele Übungsaufgaben mit Lösungen generieren kann.

 

Angewandte Mathematik ist natürlich ein Sammelbegriff, der ganz verschiedene Teilgebiete zusammenfasst, die in unterschiedlichen Anwendungssituationen von Bedeutung sind. Herr Lenze hat für diesen Kurs drei Gebiete ausgewählt, die für einen Informatiker interessant sein sollten: Numerik, Grafik und Kryptik.

 

Das Buch beginnt allerdings mit einem Kapitel über Zahldarstellungen und Maschinenzahlen und über charakteristische Rechen- und Rundungsfehler, die beim Rechnen mit Maschinenzahlen auftreten können. Das ist interessant und für manche Anwendungen relevant. Es ist letztlich eine Auffrischung von Stoff, der den Studierenden schon aus GdI1 bekannt sein sollte, wo dieses Thema bereits behandelt wurde. Dieses einführende Kapitel ist nicht klausurrelevant.

 

Teil 1 - Numerik

 

Das Kapitel Numerik fasst verschiedene Näherungsverfahren zusammen. Ausgangspunkt ist der Banachsche Fixpunktsatz. Hier geht es um sogenannte kontrahierende Selbstabbildungen. Das sind Funktionen, bei denen ich mein f(x) wieder neu als x in die Funktion einspeisen kann; die generierten Werte nähern sich dabei von Schritt zu Schritt einem Fixpunkt. Letztlich geht es in der Numerik darum, Funktionen zu finden, die bestimmte Probleme durch schrittweise Näherung lösen. Das ist dann nützlicht, wenn eine exakte Lösung schwierig, unbekannt oder aufwendig ist.

 

Das Kapitel zur Numerik zerfällt in zwei Teile. Im ersten Teil geht es um Anwendungen in der Analysis, im zweiten um Anwendungen in der linearen Algebra. Relevant für die Präsenzklausur ist nur der erste Teil. Aber Achtung: In der Online-Klausur und in den Online-Tests kann - wie schon in Mathe2 - alles drankommen.

 

Die Inhalte zur Analysis:
- Mit dem Newton-Verfahren kann man näherungsweise die Nullstelle einer differenzierbaren Funktion in einem Intervall finden, indem man an den Graphen Tangenten anlegt.
- Mit dem Heronverfahren kann man Quadratwurzeln reeler Zahlen näherungsweise berechnen.
- Das Sekanten-Verfahren ist ein weiteres Verfahren zur Näherung von Nullstellen.
- Mit dem Abstieg-Verfahren kann man das Minimum einer Funktion in einem Intervall finden.
- Das Dividierte-Differenzen-Verfahren liefert Näherungen für Ableitungen einer Funktion.
- Die Trapez- und Simpson-Regel nähern Integrale.
- Die iterierte Trapez- und Simpson-Regel machen das gleiche mit verbesserter Genauigkeit.

 

Die Inhalte zur lineare Algebra:
- Gesamtschrittverfahren,
- Einzelschrittverfahren und
- SOR-Verfahren. Damit kann man lineare Gleichungsssysteme näherungsweise lösen, die durch eine reguläre Matrix und einen Vektor gegeben sind.
- von Mises-Geiringer Verfahren. Damit kann man Eigenwerte und Eigenvektoren näherungsweise berechnen.

 

Numerik war für mich schon recht interessant. Die Verfahren laufen mechanisch ab und lassen sich gut als Algorithmen implementieren. Im Kurs finden sich dafür auch Code-Schnipsel in Java. Aus dieser Perspektive macht Mathematik auch dem angehenden Informatiker Spaß.

 

Teil 2 - Grafik

 

Auch das Kapitel Grafik zerfällt wieder in zwei Teile. Im ersten Teil geht es um polynomiale Interpolation und Approximation. Das ist eigentlich eine ziemlich interessante Sache. Aus Schulzeiten kennen wir ja noch die Situation: Man bekommt eine Funktionsvorschrift und soll nun eine Reihe von Funktionswerten berechnen, die man in ein Koordinatensystem einzeichnet. Und wenn man genug Koordinaten hat, verbindet man die Punkte zu einem Graphen. Bei der polynomialen Interpolation geht man nun den umgekehrten Weg. Bekannt sind ein paar Koordinaten. Gesucht ist eine Funktionsvorschrift für ein Polynom, das genau durch diese Punkte verläuft. Bei der polynomialen Approximation sucht man ein Polynom, das nur ungefähr durch die gegebenen Punkte läuft, dafür aber einen glatteren Kurvenverlauf aufweist.

 

Man lernt:
- polynomiale Interpolation mit Monomen
- polynomiale Interpolation nach Lagrange
- polynomiale Interpolation nach Newton
Gerade die letztere ist ziemlich interessant. Hier kann man nämlich das aus der Numerik bekannte Dividierte-Differenzen-Verfahren anwenden, um sogenannte Newton-Koeffizienten zu bestimmen. Die kann man nutzen, um mit dem Newton-Horner-Schema das Interpolationspolynom effizient auswerten zu können. Man kann also schnell weitere Funktionswerte berechnen, ohne sich die Mühe zu machen, die Funktionsvorschrift explizit zu bestimmen. Auch diese Verfahren lassen sich gut in Code implementieren.

 

Ferner lernt man:
- Interpolation nach Aitken-Neville
- nach de Casteljau
- interpolierende Subdivision nach Dubuc
- und schließlich approximierende Subdivision nach Chaikin

 

In diesem Kursabschnitt werden auch Bernstein-Grundpolynome wichtig, die in Mathe2 noch nicht klausurrelevant waren. Für Mathe3 muss man die unbedingt drauf haben.

 

Den zweiten Teil des Grafik-Kapitels bilden Verfahren der Interpolation über Rechtecken und Dreiecken, die in der 3D-Grafik zum Einsatz kommen können. Hier geht es auch um Verfahren zur Schattierung, z.B. um die Gouraud oder die Phong-Schattierung. Dieser recht interessante Teil ist nicht relevant für die Präsenzklausur, kann aber in der Online-Klausur drankommen.

 

Ich vermute, die Einschränkungen des Stoffes haben auch damit zu tun, dass viele der Verfahren eine hohe Zahl einfacher Rechenschritte erfordern. Dies gilt umso mehr für Verfahren, die mit linearer Algebra zu tun haben, weil man da mit Matrizen hantiert. Würde man so etwas in der Präsenzklausur machen, könnte man in der Zeit nur wenige Aufgaben stellen und nur wenig Stoff abprüfen. Das merkt man, wenn man die Einsendeaufgaben zu diesem Kapitel bearbeitet. Da hat man es zum Teil Gleichungen zu tun, die sich über viele Zeilen erstrecken. Das ist zeitaufwendig, die Schritt für Schritt umzuformen. Und man braucht viel Konzentration, um keinen Flüchtigkeitsfehler zu machen.

 

Teil 3 - Kryptik

 

Kryptik ist der letzte Teil des Kurses. Hier geht es um mathematische Grundlagen für Verschlüsselung und Schlüsseltausch. Diesen Teil kann ich nicht so detailliert beschreiben. Der Stoff war nicht unbedingt schwierig aber sehr fremdartig und neu. Man benutzt Primzahlen und ihre sogenannten Restklassenkörper. Außerdem beschäftigt man sich mit sogeannten Galois-Feldern. Die bestehen aus Polynomen, die lediglich 0 und 1 als Koeffizienten aufweisen und sich daher gut als Bitfolge darstellen lassen. Man lernt Addition und Multiplikation neu und wendet nun diese neuen Kenntnisse an, um im Restklassenkörper oder in Galois-Feldern z.B. Determinanten oder inverse Matrizen zu berechnen, Gleichungssysteme zu lösen und so weiter. Nichts davon ist wirklich schwierig, aber das Kapitel war trotzdem eine Herausforderung, weil man beim Rechnen leicht vergisst, dass man es nicht mit normalen Zahlen zu tun hat, auch wenn es so aussieht. Da schleichen sich leicht Fehler ein.

 

Eine weitere Schwierigkeit ist, dass man zu Beginn nicht begreift, was das alles denn mit Verschlüsselung zu tun haben könnte. Man ist schon fast am Ende des Kapitels, wenn auf wenigen Seiten das Diffie-Hellman-Verfahren und das Vernam-Verfahren, AES, DES und RSA erklärt werden. Und auf einmal passt alles zusammen und man versteht den Sinn des ganzen. Hier lohnt es sich also wieder einmal, am Ball zu bleiben und sich erst mal die nötigen Grundlagen zu erarbeiten. Natürlich hätte ich mir gewünscht, gleich zu Beginn erklärt zu bekommen, wozu ich das Rechnen im Galois-Feld lernen soll. Aber man kann das "wozu" wohl erst verstehen, wenn man die Grundlagen beherrscht.

 

Nach Mathe2 wird es leichter

 

Im Vergleich zu Mathe2 war Mathe3 leichter. Weil es um recht praktische Verfahren geht, mit denen man etwas berechnen oder nähern kann. Weil diese Verfahren sich gut in Code überführen lassen. Weil man sich gut vorstellen kann, dass es für diese Verfahren Anwendungen gibt, auch wenn man die wahrscheinlich später nicht selbst in Code implementieren wird. Weil man für vieles, was hier geschieht, auch gute graphische Veranschaulichungen finden kann.

 

Im Online-Test kann wieder alles drankommen. Meiner Meinung nach, bereitet man sich auf den Online-Test am besten vor, indem man die Tests des Moduls intensiv wiederholt. Auch in der Online-Klausur kann alles drankommen. Die Aufgaben werden anscheinend vom Zufallsgenerator ausgewählt. Ich hatte fast nur Aufgaben aus dem Kapitel Grafik und ein bisschen Kryptik. Und es war vor allem Stoff, der in der Präsenzklausur NICHT vorkommen sollte. Wer also in den Genuss von Bonuspunkten kommen möchte, muss zuschauen, dass er sich den ganzen Stoff erarbeitet. Zumindest muss man sich soweit auskennen, dass man im Online-Test die 70% holen kann, die man für die Klausurzulassung braucht.

 

Die Betreuung durch Herrn Lenze war wieder einmal hervorragend. Sehr schnelle Rückmeldungen, gute Hinweise zur Prüfungsvorbereitung.

 

In der Präsenzklausur war der Stoff sehr gleichmäßig über die drei Kapitel verteilt. Man darf keinen Taschenrechner benutzen. Es ist trotzdem schaffbar, weil die Werte so gewählt sind, dass sie sich gut für Handrechnung eigenen. Das Problem ist wieder einmal der Faktor Zeit. Man darf das Lehrbuch und sogar gerechnete Einsendeaufgaben mitnehmen. Aber das nützt nur bedingt, weil man die Aufgaben in der Zeit nicht schaffen wird, wenn man ständig nachschlagen muss. Es muss schon ein Grundstock Wissen im Kopf sein, dann kann ein gelegentlicher Blick ins Buch bestätigen, dass man sich an diese oder jene Formel richtig erinnert.

 

Auch in Mathe3 habe ich noch kein Ergebnis, bin aber zuversichtlich, dass ich diese Klausur nicht nochmal schreiben muss.

 

Nachtrag: Ergebnis

 

Nach nicht einmal 2 Wochen habe ich für Mathe3 schon ein Prüfungsergebnis. Es ist ziemlich gut gelaufen. Die gründliche Vorbereitung hat sich gelohnt.

 

Für diese Klausur habe ich im Urlaub oft bei brütender Hitze Übungsaufgaben gerechnet, während meine Familie sich im Pool verlustiert hat. Und sich gewundert hat, wie ich mich dazu überwinden konnte, im Urlaub und bei so schönem Wetter zu lernen. Nun freue ich mich sehr. Es ist schön, zu erleben, wie man innere Fortschritte macht. Wie sich Mühe auszahlt, weil man plötzlich Dinge begreift, die einem anfangs so schwierig erschienen. Es ist aber auch schön, wenn diese innere Entwicklung sich am Ende als äußerer Erfolg manifestiert. Das motiviert mich gerade im Fernstudium, wo es ja keinen äußeren sozialen Rahmen gibt, der mich trägt.

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