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Frage zur Ableitung einer Funktion


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Hallo,

Nun mache ich einfach mal den Anfang und stelle mir selbst eine Frage ;)

Gesucht ist die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x)

Um hier zu einem Ergebnis zu kommen, benötigen wir die sogenannte Kettenregel. Diese Regel besagt, dass man zuerst einen inneren Term finden muss und diesen ableiten muss. Anschließend leitet man den Term ab, der mit dem inneren Term verbunden ist und "äußerer Term" heißt.

Das Problem ist nun zuerst einmal, den inneren bzw. äußeren Term zu finden. Dazu nutzt man einen einfachen Trick. Schaut euch die Funktion einmal genau an. Aus welchen Bestandteilen setzt sie sich zusammen?

Einerseits haben wir sin(). Eigentlich könnten wir diese Funktion ableiten, die Ableitung wäre direkt cos(). Aber wir haben ja noch einen Bestandteil: 2x. Das ist auch eine Funktion. Und wir kennen nur die Ableitung von sin(x), aber nicht die Ableitung von sin(2x). Also haben wir ansich schon den inneren Term gefunden:

Der innere Term ist der Term, der "am nächsten" mit dem x verbunden ist.

Das ist hier 2x.

Nun haben wir ansich schon alles. Der äußere Term ist sin(). Der innere Term ist 2x.

Die Ableitung von 2x ist gleich 2

Die Ableitung von sin() ist gleich cos()

Setzen wir alles zusammen:

innere Ableitung * äußere Ableitung

2 * cos() = 2 * cos (2x)

Und schon sind wir fertig.

Habt ihr noch weitere Funktionen, bei denen ihr euch nicht sicher seid, wie man ableitet?

LG Rolf

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  • 1 Jahr später...

Der innere Term ist der Term, der "am nächsten" mit dem x verbunden ist.

Gilt beispielsweise nicht für

f_z(x) = x(sin z) - ln(x), z Element von R.

Mit falschen Faustregeln sollte man vorsichtig sein, das verwirrt Anfänger nur.

Generell sollte man lieber üben, die jeweiligen Definitionen genau zu lesen, dann erübrigt sich die Frage nach der Verkettung.

Was ist die Veränderliche? Was sind Parameter? Wie sind Definitions- und Bildmengen gestaltelt?

Sei f: R -> R, y -> f(y) := sin(2x).

Die Ableitung davon wäre 0. Wer sich am x festkrallt, löst das falsch. Wer genau hingeschaut hat, sieht, dass hier y ganz klar als Veränderliche gekennzeichnet wurde.

Fazit: von Fall zu Fall nachdenken, Faustregeln sind in Mathematik so eine Sache.

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