Eigenwert einer Matrix

[Tukaram]

Hallo,

kurze knappe Frage: Was sind Eigenwerte?

Zitat Wikipedia: "In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells."

Und genau darum geht es. Ich weiß wie ich den Eigenwert berechne, auch wie ich ihn benutze. Aber gibt es eine menschenfreundliche und Nicht-Mathematiker Erklärung was denn ein Eigenwert ist?

Viele Grüße

[krypt0lady]

Hi,

wenn Du ein elastisches Band nimmst und dieses dehnst, dann veränderst Du Form oder/und die Ausrichtung des Objekts. Du führst also eine Transformation durch. Untersucht man nun Transformationen mathematisch, dann findet man heraus, dass sich manchmal die Ausrichtung nicht geändert hat.

Zeichnest Du nun auf ein elastisches Band einen Pfeil, dann stellt sich die Frage, ob dieser Pfeil auch noch nach der Dehnung (die Transformation) in die gleiche Richtung zeigt. Die Antwort hängt davon ab, wie Du diesen Pfeil zeichnest. Wenn der Pfeil waagerecht liegt und Du das Band waagerecht dehnst, dann zeigt der Pfeil noch in die gleiche Richtung. Wenn Du den Pfeil schräg einzeichnest und waagerecht dehnst, dann hat sich die Richtung geändert.

Wenn sich die Ausrichtung des Pfeils nicht ändert, dann nennt man diesen Pfeil einen Eigenvektor und der zugehörige Wert um den man das Band gedehnt hat, nennt man Eigenwert.

Im Zusammenhang mit einer Transformation und einem Eigenvektor (dieser gibt die Richtung an), gibt ein Eigenwert also an um wie viel etwas gedehnt wurde. Doch ein Eigenwert allein ist nutzlos.

Oder anders ausgedrückt: Eigenvektoren bilden sich unter einer Transformation auf sich selbst ab, die skalaren Vervielfacher nennt man Eigenwert.

Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft.

LG

Inés

[Michael Knight]

EDIT: Oha, da war eine Mathematikerin schneller ... ich lass es trotzdem stehen....

Hmm, ich glaube das geht nicht. Für mich ist das eine mathematische Eigenschaft, einer Matrix bzw. eines Vektors. Eine Hilfsgröße, die deswegen "Hilf" heißt, weil sie helfen kann andere mathematische Probleme zu lösen. Ähnlich wie die Determinante, da gibt es vermutlich auch keine "menschenfreundliche" Erklärung.

Ein anderer Weg ist, sich Beispiele anzusehen. Mir gefällt das Mona-Lisa-Beispiel von wikipedia. Ist in der englischen Variante besser als in der deutschen (der Text ist auch besser).

Vielleicht hilft Dir das (unabhängig von der Mathematik):

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenspannung

Wie Du schon geschrieben hast, spielt das wohl bei unendlich vielen physikalischen Gegebenheiten ein Rolle. Mir fällt aus meinem Studium z.B. das hier ein: http://de.wikipedia.org/wiki/Knicken/

Aber für mich ist und bleibt das eine Hilfsgröße bzw. Eigenschaft.

Vielleicht gibt es hier ja Mathematiker, die das uns Normalsterblichen mal näher bringen können ... ich habe gerade einen Kollegen gefragt, aber die Erklärung war nicht menschenfreundlich ...

[Tukaram]

Hallo Ines,

ich versuche mal zu verstehen:

Es sei eine Matrix A

1 2

2 1

Der Eigenwert ist

3

-1

Der Eigenvektor

1 -1

1 1

Jetzt ziehe ich am Gummiband (rechne B*3). Der Eigenvektor ändert sich nicht, der Eigenwert ist nun

9

-3

Die Änderung(?) des Eigenwertes zeigt nun, dass sich mein Gummiband um das dreifache(?) geändert hat?

Wie könnte ich den Eigenvektor ohne den Eigenwert ändern?

Vielen Dank und viele Grüße